정리(statement)
> 군 G의 부분집합 H가 다음을 만족하면, H는 G의 부분군이다:
1. H는 공집합이 아니다 (즉, 어떤 a ∈ H 존재)
2. 임의의 a, b ∈ H에 대해 ab⁻¹ ∈ H
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목표
→ 위 두 조건만으로 H가 군의 네 가지 성질을 모두 만족한다는 것을 증명:
1. 결합법칙
2. 항등원 존재
3. 역원 존재
4. 연산에 대해 닫혀 있음 (폐쇄성)
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증명
(1) 결합법칙
G는 군이므로, G의 연산은 결합법칙을 만족
→ H는 G의 부분집합이므로 연산은 G에서 물려받는다
→ 결합법칙 자동 성립
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(2) 항등원 존재
조건 (1)에서 어떤 a ∈ H 존재
조건 (2)에 따라 ab⁻¹ ∈ H
→ 여기서 a = b로 두면:
ab⁻¹ = aa⁻¹ = e ∈ H
→ 항등원 e ∈ H
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(3) 역원 존재
이미 어떤 a ∈ H라고 하자
위에서 e ∈ H라는 걸 알았음
조건 (2)에 따라:
ea⁻¹ = a⁻¹ ∈ H
→ 역원도 H에 포함
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(4) 닫혀 있음 (폐쇄성)
이미 임의의 a, b ∈ H에 대해 b⁻¹ ∈ H (위에서 증명됨)
조건 (2)에 따라:
a * (b⁻¹)⁻¹ = a * b ∈ H
→ 연산에 대해 닫혀 있음
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따라서, 결론
> 조건 1, 2만으로
H는 군 G의 부분군이 된다.
증명 완료.
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