정리
실수 직선 R에서 닫히고 유계인 구간 [a, b]는 컴팩트하다.
즉, [a, b]에 대한 임의의 열린 덮음은 유한 부분 덮음을 갖는다.
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증명 (모순법 + 상한의 원리를 이용)
가정: [a, b]를 덮는 어떤 열린 덮음이 유한한 부분 덮음을 가질 수 없다고 가정하자.
즉, 열린집합들의 족 𝒰 = {U_α} 가 [a, b]를 덮지만, 그 중 유한 부분집합으로는 [a, b]를 덮을 수 없음.
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1. 집합 S 정의:
S = { x ∈ [a, b] | [a, x]는 𝒰의 유한 부분 덮음으로 덮을 수 있다 }
S는 공집합이 아님 (a ∈ S)
S는 b 이하의 상계를 가지므로, c = sup S ∈ [a, b] 정의 가능
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2. 목표: c = b임을 보이자.
반대로, c < b라고 가정하면?
𝒰는 [a, b]를 덮으므로, c ∈ ∪𝒰
→ 어떤 열린집합 U ∈ 𝒰가 c ∈ U를 만족
→ 그러면 U는 (c - ε, c + ε) ⊂ U 꼴을 포함 (열린집합이므로)
특히 c - ε < c < c + ε 이므로
→ [a, c - δ]는 유한 부분 덮음으로 덮임 (왜? c는 S의 상한이니까 c보다 작은 점은 모두 S에 속함)
→ 그 유한 덮음에 U 하나만 추가하면,
→ [a, c + δ]까지 유한 덮음 가능
따라서 c + δ ∈ S, 즉 c보다 큰 점도 S에 속함
→ 하지만 c = sup S라고 했으니 모순
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3. 결론:
모순이 발생했으므로, 가정이 틀렸음
→ 즉, [a, b]는 유한 부분 덮음을 가짐
→ ∴ [a, b]는 컴팩트
결론)
뭔개솔인지 이해 못하겠다
근데 다시 읽어보니 알겠다
근데 설명해보라하면 못하겠다
할 일 없을 때 그림그려봐야겠다
증명요약)
S = { x ∈ [a, b] | [a, x]는 𝒰의 유한 부분 덮개로 덮을 수 있다 }
sup S < b라고 할 때
sup S보다 큰 값이 S에 속한다
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