x ∈ Cl(A) ⇔ x를 포함하는 모든 열린집합 V에 대하여 A ∩ V ≠ ∅

x가 Cl A에 속한다고 가정해보자
그리고 x가 열린집합 V에 포함된다 가정하자
그리고 A와 V가 교차햐지 않는다 가정하다

그러면 A는 V의 여집합에 속해있다
그런데 V의 여집합은 닫혀있다
따라서 Cl A는 V와 교차하지 않는다
그렇다면 모순이다. 왜냐하면 x가 V와 Cl A에 동시에 속하기 때문이다.

x가 Cl A에 포함되지 않는다 가정해보자.
그러면 x를 포함하지 않으면서 A를 덮는 닫힌집합이 존재한다
그러면 x를 포함하는 열린집합이 존재한다