연속1

명제: 함수 f: X → Y가 연속 ⇔ 임의의 닫힌집합 C ⊆ Y에 대해 f⁻¹(C) ⊆ X도 닫힌집합이다.


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증명:

(⇒ 방향)
f가 연속이라고 가정하자.
Y의 닫힌집합 C ⊆ Y에 대해 Y \ C는 열린집합이다.
f가 연속이므로 f⁻¹(Y \ C) = X \ f⁻¹(C)는 X에서 열린집합이다.
그러므로 f⁻¹(C)는 X에서 닫힌집합이다.

(⇐ 방향)
Y의 임의의 열린집합 V ⊆ Y를 잡자.
Y \ V는 닫힌집합이므로 가정에 의해 f⁻¹(Y \ V)는 X에서 닫힌집합이다.
그러면 X \ f⁻¹(Y \ V) = f⁻¹(V)는 열린집합이다.
따라서 f는 연속이다.