임의의 함수 f: A → B와 임의의 부분집합 X, Y ⊆ A에 대해 f(X ∪ Y) = f(X) ∪ f(Y).

명제:
임의의 함수 f: A → B와 임의의 부분집합 X, Y ⊆ A에 대해
f(X ∪ Y) = f(X) ∪ f(Y).

증명:

⊆ 방향:
임의의 a ∈ X ∪ Y를 잡으면 a ∈ X 또는 a ∈ Y.
그러므로 f(a) ∈ f(X) 또는 f(a) ∈ f(Y).
따라서 f(a) ∈ f(X) ∪ f(Y).
즉, f(X ∪ Y) ⊆ f(X) ∪ f(Y).

⊇ 방향:
임의의 b ∈ f(X) ∪ f(Y)를 잡자.
그러면 b = f(a)이고 a ∈ X 또는 a ∈ Y.
즉, a ∈ X ∪ Y 이므로 b = f(a) ∈ f(X ∪ Y).
따라서 f(X) ∪ f(Y) ⊆ f(X ∪ Y).


양쪽 포함관계가 모두 성립하므로 등식이 성립합니다.

결론:
**f(X ∪ Y) = f(X) ∪ f(Y)**는 항상 참입니다. (f의 연속성 불필요)

필요하시면 다른 집합 관련 함수 성질들도 알려드릴 수 있습니다.