int(A ∪ B) ⊇ int(A) ∪ int(B)

명제:
int(A ∪ B) ⊇ int(A) ∪ int(B)


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증명:

우리는 다음을 보이려 합니다:
임의의 **x ∈ int(A) ∪ int(B)**이면 x ∈ int(A ∪ B)


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**x ∈ int(A) ∪ int(B)**이면 두 경우로 나눌 수 있습니다:

(1) x ∈ int(A):
⇒ x를 포함하는 open set U ⊆ A 존재
⇒ U ⊆ A ⊆ A ∪ B
⇒ U ⊆ A ∪ B
⇒ x ∈ int(A ∪ B)

(2) x ∈ int(B):
⇒ x를 포함하는 open set V ⊆ B 존재
⇒ V ⊆ B ⊆ A ∪ B
⇒ V ⊆ A ∪ B
⇒ x ∈ int(A ∪ B)


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따라서 int(A) ∪ int(B) ⊆ int(A ∪ B)
즉,
int(A ∪ B) ⊇ int(A) ∪ int(B)
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※ 일반적으로 등호는 성립하지 않습니다. (반례 존재)
원하시면 반례도 제공해드릴 수 있습니다.