증명.
x ∈ cl(A)라고 하자.
만약 x ∈ A이면 곧 x ∈ A ∪ A′이다.
만약 x ∉ A이면, cl(A)에 속한다는 것은 모든 열린근방 U에 대해 U ∩ A ≠ ∅임을 뜻한다.
이때 x ∉ A이므로 U ∩ (A {x}) = U ∩ A ≠ ∅이므로 x는 A의 limit point, 즉 x ∈ A′이다.
따라서 cl(A) ⊆ A ∪ A′.
반대로, x ∈ A이면 자명히 x ∈ cl(A)이고,
x ∈ A′이면 모든 열린근방 U에 대해 U ∩ (A {x}) ≠ ∅ ⇒ U ∩ A ≠ ∅이므로 정의에 따라 x ∈ cl(A)이다.
따라서 A ∪ A′ ⊆ cl(A).
결론적으로 cl(A) = A ∪ A′.
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