principle of mathematical induction

증명

B = N-A라 하자.
B가 공집합이 아니라고 하자.
그렇다면 B는 양의 정수의 집합이다.
따라서 최솟값이 있을 것이다.
그 최솟값을 m이라 하자.
B는 A가 아닌 양의 정수의 집합이고 A에 1이 포함되어있다.
따라서 B는 1 이상의 원소만 있다.
x를 B의 원소라 하자.
x >= 1이다.
따라서 x-1 >= 0이다.
x가 정수이면 x-1은 정수이다.
따라서 x가 x>=1인 정수일 때 x-1은 양의 정수이다.
양의 정수 m-1은 A에 속한다.
왜냐하면 B에는 m보다 작은 양의 정수가 존재할 수 없기 때문이다.
그렇다면 m-1+1 또한 A에 속한다.
그런데 m-1+1 = m이다.
따라서 m은 A에 속한다.
N-A가 공집합이 아니라고 가정하면 N-A와 A의 교집합은 공집합이 아니다.
그런데 N-A와 A의 교집합은 공집합이다.
따라서 모순이다.
따라서 N-A는 공집합이다.