수렴하는 수열은 항상 유계이다

명제:

> 실수 수열 {pₙ}이 수렴하면, {pₙ}은 bounded하다.




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증명:

{pₙ}이 p ∈ ℝ로 수렴한다고 가정하자.

즉,

> ∀ε > 0에 대해 ∃N ∈ ℕ such that ∀n ≥ N, |pₙ − p| < ε



이제 ε = 1을 택하자.

∃N ∈ ℕ such that ∀n ≥ N, |pₙ − p| < 1

그러면 n ≥ N일 때 pₙ ∈ (p − 1, p + 1)


즉,

{pₙ}의 "꼬리 부분"은 (p − 1, p + 1) 안에 있음

이 구간은 유계


그리고

N보다 작은 n에 대해서는 {p₁, ..., p_{N−1}}라는 유한 집합

유한 집합은 항상 유계


그러므로

전체 수열 {pₙ}은 유한 집합과 유계 집합의 합집합
⇒ 유계



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결론:

> 수렴하는 실수 수열은 반드시 유계이다. □