Closure 3

Cl Cl A = Cl A

정의에 따르면, 집합 A의 폐포 Cl(A)는 A를 포함하는 모든 닫힌집합들의 교집합으로 정의됩니다. 즉
Cl(A) = ⋂{ F ⊆ X ∣ F는 닫힌집합이고 A ⊆ F }

먼저, A ⊆ Cl(A)이므로 폐포 연산의 포함 보존성에 따라
Cl(A) ⊆ Cl(Cl(A))

다음으로, Cl(A) 자체가 닫힌집합이며 Cl(A) ⊆ Cl(A)이므로
Cl(Cl(A)) = ⋂{ F ⊆ X ∣ F는 닫힌집합이고 Cl(A) ⊆ F }

이 교집합에는 Cl(A) 자신도 포함되어 있으므로
Cl(Cl(A)) ⊆ Cl(A)

따라서
Cl(Cl(A)) ⊆ Cl(A) ⊆ Cl(Cl(A))