A ⊆ B ⊆ X ⇒ cl(A) ⊆ cl(B)

명제:
A ⊆ B ⊆ X ⇒ cl(A) ⊆ cl(B)


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증명:

정의:
cl(A)는 A의 모든 근방 점들의 집합이다.
즉,
x ∈ cl(A) ⇔ 임의의 open neighborhood U of x에 대해 U ∩ A ≠ ∅

이제 A ⊆ B라고 가정하자.

임의의 x ∈ cl(A)를 잡자.
⇒ 임의의 open neighborhood U of x에 대해 U ∩ A ≠ ∅

그런데 A ⊆ B이므로 U ∩ A ⊆ U ∩ B
⇒ U ∩ B ≠ ∅
⇒ x ∈ cl(B)

따라서 x ∈ cl(B), 즉 cl(A) ⊆ cl(B)

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