Hausdorff는 X * X에서 closed

목표:

Hausdorff 공간 X라면,
Δ ⊂ X × X는 닫힌 집합이다.
즉, (X × X) \ Δ가 열린 집합임을 보이면 충분합니다.


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가정:

X는 Hausdorff 공간이다.
⇒ 임의의 x ≠ y ∈ X에 대해,
서로소인 열린집합 U, V ⊂ X가 존재하여
x ∈ U, y ∈ V, 그리고 U ∩ V = ∅


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증명:

1. (x, y) ∈ (X × X) \ Δ
⇒ x ≠ y


2. Hausdorff 조건에 따라,
x ∈ U, y ∈ V인 열린집합 U, V ⊂ X가 존재하고
U ∩ V = ∅


3. 그러면,
U × V ⊂ (X × X) \ Δ
왜냐하면,
임의의 (u, v) ∈ U × V는 u ∈ U, v ∈ V인데
U ∩ V = ∅이므로 u ≠ v
⇒ (u, v) ∉ Δ


4. 즉, (x, y)를 포함하는 열린집합 U × V가
(X × X) \ Δ에 완전히 포함됨


5. 이런 열린집합이 (x, y) ∈ (X × X) \ Δ의 임의의 점에 대해 존재하므로,
(X × X) \ Δ는 열린집합이다


6. ⇒ Δ는 닫힌 집합이다. □




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결론:

X가 Hausdorff 공간이면,
대각선 Δ = {(x,x)}는 X × X에서 닫힌집합이다.

필요하시면 역도 가능: Δ가 닫히면 X는 Hausdorff 공간.
즉, Hausdorff ⇔ Δ가 닫힘.
이건 T2 공간의 대표적인 위상적 특성입니다.


요약:
즉 x와 y가 다르면 모두 분리된 열린집합을 형성한다는 거고
그 분리된 열린집합들의 여집합이 닫힌 집합이라는 뜻이다.
직관적으로 이해하기 위한 노력을 할 필요가 있다..