ㄴ정수론 archimedean property

자연수 a가 있고 실수 b가 있을 때
다음을 만족하는 n이 존재한다
na > b

증명과정:

모든 양수 n에 대해 na < b인 a b가 존재한다 하자.
na < b이면
0 < b - na 이다.
na < b일 때 집합 S를 정의한다
S = {b-na : n > 0}
그러면 S는 양의 정수의 집합이다.
양의 정수의 집합은 well-ordering principle라는 것에 의해서 무조건 최소정수를 가져야 한다.
S는 b-na 형태의 원소를 가진다.
이 때 최소 정수를 b-ma라고 하자.
그러면 b-(m+1)a도 S에 속한다.
그런데 b-(m+1)a < b - ma이다.
최소 정수를 x라고 가정했을 때 그보다 더 작은 정수가 있다는 것은, 최솟값 a를 가정하면 다른 수가 최솟값이 된다는 뜻이다.
즉 최솟값이 있다는 것이 모순이라는 뜻이다.
따라서 S는 최솟값이 없다.

모든 n에 대해 na < b인  a, b가 존재하면 모든 원소가 양의 정수인 S가 존재해야한다. S가 모든 원소가 양의 정수이면 최솟값이 있어야 한다. 그런데 S는 최솟값이 없다. 따라서 모든 n에 대해 na < b인 a b 가 존재한다는 것은 거짓이다. 따라서 na > b인 n은 반드시 존재한다.

더 간략화
b > na 면 0 < b - na인데 b - na의 최솟값을 b - ma라 하면 b -(m+1)a < b - ma이기 때문에  well-ordering principle에 위배된다

더 간략화
a가 양수일 때 모든 양의 정수 n에 대하여 b > na 인 a는 존재하지 않는다
b와 na의 차가 양수라면 항상 최솟값이 존재해야하는데 b와 na의 차는 최솟값이 존재하지 않기 때문이다.

더 간략화
수직선에서 두 수의 간격을 생각해보자.
두 수의 차이가 양이라면 무조건 최솟값이 있어야 한다.
실수라면 없어도 된다.
그런데 정수라면 최솟값이 있어야 한다.