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principle of mathematical induction 증명B = N-A라 하자.B가 공집합이 아니라고 하자.그렇다면 B는 양의 정수의 집합이다.따라서 최솟값이 있을 것이다.그 최솟값을 m이라 하자.B는 A가 아닌 양의 정수의 집합이고 A에 1이 포함되어있다.따라서 B는 1 이상의 원소만 있다.x를 B의 원소라 하자.x >= 1이다.따라서 x-1 >= 0이다.x가 정수이면 x-1은 정수이다.따라서 x가 x>=1인 정수일 때 x-1은 양의 정수이다.양의 정수 m-1은 A에 속한다.왜냐하면 B에는 m보다 작은 양의 정수가 존재할 수 없기 때문이다.그렇다면 m-1+1 또한 A에 속한다.그런데 m-1+1 = m이다.따라서 m은 A에 속한다.N-A가 공집합이 아니라고 가정하면 N-A와 A의 교집합은 공집합이 아니다.그런데 N-A와 A의 교집합은 공집합이다.따라서 모순..
first principle of finite induction 몇몇 양의 정수의 모임 S가 다음과 같은 성질을 지닌다고 가정하자.1이 S에 속한다.정수 k가 S에 속할 때 정수 k+1도 S에 속한다.그렇다면 S는 모든 양의 정수의 집합이다.증명)A를 양의 정수 집합에서 S를 뺀 집합이라고 하자.그리고 A가 그럼에도 불구하고 공집합이 아니라고 가정하자.그렇다면 A는 양의 정수의 집합이다.그렇다면 A는 최솟값을 지닌다.그 최솟값을 m이라 하자.그렇다면 m-1은 S에 속할 것이다.그렇다면 m-1 +1은 S에 속할 것이다.m - 1 + 1 = m이다.그렇다면 m은 S에도 속하고 A에도 속한다그런데 A와 S는 공유하는 원소가 없다.m이 S에 속하고 A에도 속하지만 A와 S는 공유하는 원소가 없다.따라서 모순이다.따라서 양의 정수 집합에서 S를 뺀 집합은 무조건 공집합이 되어..
archimedian property 오답1 a가 양의 정수이고b가 정수일 때b 증명)a와 b가 다음과 같은 수라고 하자.a는 양의 정수이다.b는 정수이다.모든 양의 정수 n에 대하여 b >= na이다.그렇다면 모든 양의 정수 n에 대해 b - na >= 0이다.S = {b - na : n은 양의 정수}라고 가정하자.모든 양의 정수의 집합은 well-ordering principle에 의해 최소 정수를 갖는다.S가 양의 정수의 집합이라면 다음과 같은 정수 x와 양의 정수 y, m가 존재해야 할 것이다.x - my는 당연히 S의 원소이다.x - my는 S의 최솟값이다.그러나 x - my가 S의 최솟값이면 x - (m+1)y가 x - my보다 작으며 S의 원소이다.S가 최솟값이 존재한다고 가정하면 S의 최솟값을 지칭할 수 있다. 그것을 k라고 두면 k..

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