전체 글 (80) 썸네일형 리스트형 int(A ∪ B) ⊇ int(A) ∪ int(B) 명제:int(A ∪ B) ⊇ int(A) ∪ int(B)---증명:우리는 다음을 보이려 합니다:임의의 **x ∈ int(A) ∪ int(B)**이면 x ∈ int(A ∪ B)---**x ∈ int(A) ∪ int(B)**이면 두 경우로 나눌 수 있습니다:(1) x ∈ int(A):⇒ x를 포함하는 open set U ⊆ A 존재⇒ U ⊆ A ⊆ A ∪ B⇒ U ⊆ A ∪ B⇒ x ∈ int(A ∪ B)(2) x ∈ int(B):⇒ x를 포함하는 open set V ⊆ B 존재⇒ V ⊆ B ⊆ A ∪ B⇒ V ⊆ A ∪ B⇒ x ∈ int(A ∪ B)---따라서 int(A) ∪ int(B) ⊆ int(A ∪ B)즉,int(A ∪ B) ⊇ int(A) ∪ int(B)□---※ 일반적으로 등호는 성립하지 않습.. A ⊆ B ⊆ X ⇒ cl(A) ⊆ cl(B) 명제:A ⊆ B ⊆ X ⇒ cl(A) ⊆ cl(B)---증명:정의:cl(A)는 A의 모든 근방 점들의 집합이다.즉,x ∈ cl(A) ⇔ 임의의 open neighborhood U of x에 대해 U ∩ A ≠ ∅이제 A ⊆ B라고 가정하자.임의의 x ∈ cl(A)를 잡자.⇒ 임의의 open neighborhood U of x에 대해 U ∩ A ≠ ∅그런데 A ⊆ B이므로 U ∩ A ⊆ U ∩ B⇒ U ∩ B ≠ ∅⇒ x ∈ cl(B)따라서 x ∈ cl(B), 즉 cl(A) ⊆ cl(B)□ A ⊆ X가 dense ⇔ closure(A) = X 정리:A ⊆ X가 dense ⇔ closure(A) = X---증명:(⇒) A가 dense라고 하자.dense의 정의에 따라, 모든 non-empty open set U ⊆ X에 대해 **U ∩ A ≠ ∅**이다.임의의 x ∈ X를 잡자.x의 임의의 open neighborhood U는 non-empty open set이므로, U ∩ A ≠ ∅⇒ x ∈ closure(A)⇒ X ⊆ closure(A)⇒ closure(A) = X---(⇐) 이제 closure(A) = X라고 가정하자.임의의 non-empty open set U ⊆ X에 대해 **U ∩ A ≠ ∅**임을 보이자.U가 non-empty이므로, U에는 어떤 x ∈ X가 존재한다.closure(A) = X ⇒ x ∈ closure(A)⇒ x의 .. 이전 1 2 3 4 5 ··· 27 다음